面積公式を組み合わせて解く半円の面積計算

2021.06.08
面積計算難問:偏差値60

偏差値60超の問題集や入試で出題される「定番問題」です。小学4~5年生で習う図形の基礎知識を複雑に組み合わせて解きます。

  • 三角形と四角形の性質(小学4年生)
  • ひし形の面積(小学5年生)
  • 円の面積(小学5/6年生)
  • 円周角の定理(中学生)

まずはヒント

補助線をひく

ここに補助線を引きます。

この類の問題をたくさんこなしている人なら「あーこれはここに補助線のパターンだ」と気づきますね。

いずれにしても話はここからです。

三角定規を見つける

45°の三角定規

補助線をひくことでABDに二等辺三角形があらわれます。この二等辺三角形は45°の三角定規と同じ形状です。

なんかいきなり話がぶっ飛んだよーな?

という感じもするので、なぜ三角定規の二等辺三角形と言い切れるのか?から解説します。

円の直径の両端からひいた線の円周接点は必ず90°になる

中学生で習う「円周角の定理」のしくみです。文字で説明すると雑多になるので図で解説します。

円周角の定理

中心を頂角とした残り二辺の長さは等しくなります。(円の半径ですから)

ここの角AとBについて考えてみます。

円周角の定理
  • 三角形の内角の和は180°。赤と緑の2つの三角形があるので角度の合計は360°
  • そのうち、中心点に接している角度、つまり二等辺の頂角の角度は赤と緑合わせて180°(2つで直線になっています)
  • つまり残りの角度の合計は360-180=180°
  • つまり角A+角A+角B+角B=180°
  • つまり角A+角B=90°
  • 角Aと角Bがそれぞれ何度かは不明でも、ふたつ合わせて90°、それが隣接すれば直角。

だから円に接している部分の角度は90°=直角になるわけです。

では設問の図形に戻って・・・

  • 角Aは45°(設問図形で与えられている数字)
  • 補助線をひいたことでできた角Dは、先ほどの考え方によって90°
  • 45°と90°とくれば、残る角Bは45°

だから45°の三角定規だということです。

正方形の面積公式

補助線を引いたことで45°の三角定規を見つけることができました。

設問の図形は「半円」ですから三角定規も「何かの半分」かもしれません・・・というか、受験算数でその発想はお約束です。

45°三角定規は組み合わせると正方形になる

45°三角定規は正方形になる

このように三角定規を線対称でコピーすると正方形ができます。

与えられている長さの部分が正方形の一辺なので、とりあえず面積を出しておきましょう。

6 × 6 = 36

正方形はひし形の公式でも面積が出せる

受験算数では「正方形」と「ひし形」の公式はひとまとめに覚えます。

〔面積〕=〔一辺 × 一辺〕 =〔対角線 × 対角線 ÷ 2〕

  答え
正方形公式 一辺 × 一辺 36
ひし形公式 対角線 × 対角線 × 1/2 36

この図形の場合、対角線×対角線=72です。これが64や81だったら平方数(8×8や9×9)で対角線の長さが求められますが、今回の数字はむりなようです。

円の面積公式

半径 × 半径 × 3.14 ですが、その「半径」を視覚的に考えます。

着目点は「ひし形」の対角線です。

円とひし形の公式を分解して置き換える

わかりやすいように緑色にしてみましたが、円の半径はひし形対角線の1/2です。

であれば、半径 × 半径 × 3.14 は次のように書き換えることができます。

〔対角線 × 1/2〕×〔対角線 × 1/2〕× 3.14

これについて・・・

〔対角線 × 1/2〕×〔対角線 × 1/2〕× 3.14

赤文字の部分は先ほどのひし形の計算で「36」であることがわかっています。

つまり・・・

〔36〕×〔1/2〕× 3.14

これで円全体の面積が求められます。

設問は半円なので、さらに1/2すれば答えが出ます。

〔36〕×〔1/2〕×〔1/2〕× 3.14

9 × 3.14 = 28.26

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