円周率は 3.00 以上であることを証明せよ東京大学入試問題（改）
2020.03.11
円周率は 3.00 以上であることを証明せよ
2003年の東京大学入試で出題された超有名な問題を、小学生でも解けるように数字を少し変えたものです。
ちなみにオリジナルはこうです。
円周率は 3.05 以上であることを証明せよ
オリジナルが「3.05」に対して「3.00」ですが、考え方や手順は同じです。
- 円周率（小学5年生）
- 多角形の角度（小学5年生）
正多角形の角度と作図（小学5年生）
この類の証明問題は「具体的な何かを引き合いに出して比較する」という流れで解きます。
数学でいう「証明」の書き方は中学生で習います。小学生の皆さんは図表や計算式や言葉をつかって説明できればよいです。
で、この問題を解くために引き合いに出すのは・・・
小学5年生の教科書や基礎問題集に必ず出てくるアレですね。
問題文を読んでこの図が思い浮かべば解けたも同然です。
円周率が「3.00」より大きい証明
- 円に内接して正六角形を描く。
- 一般的な描き方では描く過程で正三角形ができる
- 正三角形の一辺は六角形の一辺と同じなので、半径を「1.00」とすれば六角形の外周は6.00。
- 同様に正三角形の一辺は「円の半径」でもあるので、円周は2×円周率
- 六角形は円に内接しているので長さの関係は「円周＞六角形外周」の不等式になる。
- つまり「円周の2倍＞6.00」→「円周＞3.00」。
- よって円周率は3.00より大きいことが証明できます。
「3.05」の場合（オリジナル）
- 正八角形を使う
- 一辺の長さを余弦定理で求める（ √1+1-2cos45°）
- 8倍して√をバラすと「6.12...」
- 「2π＞6.12」→「π＞3.06」
小学算数では八角形の一辺が計算できないので、この部分だけ高校数学です。
あとがき
今やネタ問題のように扱われている伝説的問題です。
出題された2003年はゆとり教育で「円周率＝3.00」で物議がわきおこっていた時期なので、それに対する東大の意思表明だという見解もよく見かけますが、それを受験者に伝えるためだけに1問使うとは・・・・僕は思えません。
であればこの問題が試しているのは、問題文を読んでこの図が思い浮かぶか？・・・ではないかと。
思い浮かびましたか？