小数点以下第百位の数字は何？約数と倍数の考えで規則性を探す
2020.06.07
「1／7」（七分の一）を小数で表したとき、小数点第百位の数字は？
受験算数の「規則性」の入り口となる代表的な問題です。
- 倍数と約数（小学5年生）
- 規則性
- 循環小数（高校・数Ⅰ）
倍数と約数と考え方で繰り返しのセットを探す
手がかりを得るために少し計算してみると・・・
1÷7＝0.14285714285714...
これを表に書き出すと、「142857」が繰り返し出てくることがわかります。
| 位の番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
列（横）の数を繰り返す単位で書き直すと次のようになります。
| 位の番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 位の番号 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 位の番号 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
6桁のセットの繰り返しが永遠に続くような気がします。
であればおそらく・・・
| 位の番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 位の番号 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 位の番号 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 位の番号 | 24 | |||||
| 値 | 7 | |||||
| 位の番号 | 45 | 48 | ||||
| 値 | 2 | 7 | ||||
| 位の番号 | 67 | 72 | ||||
| 値 | 1 | 7 |
こんな感じになると思います。（※なります）
だったらこの問題は・・・
6の倍数で100に近い数字を探し、そこから手で数えると速いんでない？
とりあえず答えを出してみよう
| 1セットめ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 16セットめ | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 17セットめ | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
100番目の数字は「8」です。
計算で求める
ややこしく考えなくても・・・
100 ÷ 6 ＝ 16.あまり4
これでOK。
商の「16」は100番目までに16セットあるという意味です。
「余り」があるので探している数は次のセットの範囲にあります。つまり「100番目」の数は17セット目にあることがわかります。
そして「余り」の数「4」は、先頭から数えて4番目に目的の数字があることを示しています。
| 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
例題は100番目のマスに入っている値（数字）を問われていますので、わり算した余りだけ着目すればOKです。
50万番目でも同じ計算
500,000÷6＝83,333.あまり2
2番目の数字は「4」
| 1セットめ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| 83334セットめ | 499,999 | 500,000 | 500,001 | 500,002 | 500,003 | 500,004 |
| 値 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 |
応用：何番目の数字は何行何列にある？
各列に入っている数字（何番目）の規則を見てみます。
| 1列目〔1〕 | 1 | 7 | 13 | 19 | （6×行数）ー5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2列目〔4〕 | 2 | 8 | 14 | 20 | （6×行数）ー4 |
| 3列目〔2〕 | 3 | 9 | 15 | 21 | （6×行数）ー3 |
| 4列目〔8〕 | 4 | 10 | 16 | 22 | （6×行数）ー2 |
| 5列目〔5〕 | 5 | 11 | 17 | 23 | （6×行数）ー1 |
| 6列目〔7〕 | 6 | 12 | 18 | 24 | （6×行数）ー0 |
見ればなんとなくわかると思いますが、「ー5」や「ー0」が割り算したときの余りです。
とすれば・・・
マス番号＝（6×行数）ー（6－列数）
規則性の問題に取り組むときは、このあたりまで考えておくと解ける問題の幅が広がると思います。