小数点以下第百位の数字は何?約数と倍数の考えで規則性を探す

「1/7」(七分の一)を小数で表したとき、小数点第百位の数字は?

2020.06.07

受験算数の「規則性」の入り口となる代表的な問題です。

  • 倍数と約数(小学5年生)
  • 規則性
  • 循環小数(高校・数Ⅰ)

倍数と約数と考え方で繰り返しのセットを探す

手がかりを得るために少し計算してみると・・・

1÷7=0.14285714285714...

これを表に書き出すと、「142857」が繰り返し出てくることがわかります。

位の番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7

列(横)の数を繰り返す単位で書き直すと次のようになります。

位の番号 1 2 3 4 5 6
1 4 2 8 5 7
位の番号 7 8 9 10 11 12
1 4 2 8 5 7
位の番号 13 14 15 16 17 18
1 4 2 8 5 7

6桁のセットの繰り返しが永遠に続くような気がします。

であればおそらく・・・

位の番号 1 2 3 4 5 6
1 4 2 8 5 7
位の番号 7 8 9 10 11 12
1 4 2 8 5 7
位の番号 13 14 15 16 17 18
1 4 2 8 5 7
位の番号 24
7
位の番号 45 48
2 7
位の番号 67 72
1 7

こんな感じになると思います。(※なります)

だったらこの問題は・・・

6の倍数で100に近い数字を探し、そこから手で数えると速いんでない?

とりあえず答えを出してみよう

1セットめ 1 2 3 4 5 6
1 4 2 8 5 7
16セットめ 91 92 93 94 95 96
1 4 2 8 5 7
17セットめ 97 98 99 100 101 102
1 4 2 8 5 7

100番目の数字は「8」です。

計算で求める

ややこしく考えなくても・・・

100 ÷ 6 = 16.あまり4

これでOK。

商の「16」は100番目までに16セットあるという意味です。

「余り」があるので探している数は次のセットの範囲にあります。つまり「100番目」の数は17セット目にあることがわかります。

そして「余り」の数「4」は、先頭から数えて4番目に目的の数字があることを示しています。

97 98 99 100 101 102
1 4 2 8 5 7

例題は100番目のマスに入っている値(数字)を問われていますので、わり算した余りだけ着目すればOKです。

50万番目でも同じ計算

500,000÷6=83,333.あまり2

2番目の数字は「4」

1セットめ 1 2 3 4 5 6
1 4 2 8 5 7
83334セットめ 499,999 500,000 500,001 500,002 500,003 500,004
1 4 2 8 5 7

応用:何番目の数字は何行何列にある?

各列に入っている数字(何番目)の規則を見てみます。

1列目〔1〕  1 7 13 19 (6×行数)ー5
2列目〔4〕 2 8 14 20 (6×行数)ー4
3列目〔2〕 3 9 15 21 (6×行数)ー3
4列目〔8〕 4 10 16 22 (6×行数)ー2
5列目〔5〕 5 11 17 23 (6×行数)ー1
6列目〔7〕 6 12 18 24 (6×行数)ー0

見ればなんとなくわかると思いますが、「ー5」や「ー0」が割り算したときの余りです。

とすれば・・・

マス番号=(6×行数)ー(6-列数)

規則性の問題に取り組むときは、このあたりまで考えておくと解ける問題の幅が広がると思います。

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