小数点以下第百位の数字は何?

「1/7」(七分の一)を小数で表したときの小数点第百位の数字は?

2020.06.07

解答時間のめやす

はじめての人 10分
中学受験準備 3分

何番目の数字を答えろ的な問題は、地道な計算でも解けなくはないけど数学的な解き方をしないと解答時間を失うことを狙っています。

  • 倍数と約数(小学5年生)

倍数と約数と考え方で繰り返しのセットを探す

手がかりを得るために少し計算してみると・・・

1÷7=0.14285714285714...

「142857」が繰り返し出てくることがわかります。

これを表に書き出すと次のような感じになります。

位の番号 1 2 3 4 5 6
1 4 2 8 5 7
位の番号 7 8 9 10 11 12
1 4 2 8 5 7
位の番号 13 14 15 16 17 18
1 4 2 8 5 7

書き出すとよくわかりますが、6桁づつセットで繰り返していますので、たぶんこれは永遠に続くような気がします。(※します)

であれば・・・

6の倍数で100より少ない数字を探して、そこから手で数えると速いんでない?

「〇番目を答えろ」な問題はだいたいこの発想で解けます。

計算式の組み立て方

ややこしく考えなくても・・・

100÷6=16.あまり4

これでOK。

商の「16」は100番目までに16セットあるという意味です。

問われているのは100番目の数字ですが、文字で説明するとややこしいので先ほどの表を使います。

1セットめ 1 2 3 4 5 6
1 4 2 8 5 7
16セットめ 91 92 93 94 95 96
1 4 2 8 5 7
17セットめ 97 98 99 100 101 102
1 4 2 8 5 7

100番目の数字は「8」のようです。

商と余りの意味を考える

先ほどの「100÷6=16.あまり4」から考えてみると・・・

  • 余りが出るということは、探している数字は「最終セットの次」にある
  • ↑(最終は16セットめなので、その次は「17セットめ」)
  • 17セットめの何番目にあるかというのが余りの値

「あまり4」なら4番目。値は「8」ですね。

50万番目でも同じ計算

500,000÷6=83,333.あまり2

「あまり2」なので2番目の数字は「4」

答え:50万番目の数字は「4」

法則さえ発見すればサービス問題ですね。

あとがき

このように割り切れない数字がループするものを循環小数と呼びます。

循環小数が教科書に出てくるのは中学3年生や高校数学なので「循環小数を分数に直して計算してちょ」みたいな問題は中学受験には(たぶん)出題されないと思いますが、「解き方の手順を文章や図表や式で示せ」という記述式の出題はよく見かけます。(公立中高一貫校が好む問題形式です)

記述式は力技地道な計算で答えを出しても完答扱いにはならないでしょうから、仕組みと手順をしっかり覚えておくのがいいと思います。