150°三角形の面積計算三角定規で解く必携知識

2020.06.07
150度三角形

受験算数の面積計算の多くで使う「150°三角形」の求め方です。

中学受験の図形問題を解く際の必携知識なので、本格的な問題に取り組む前に繰り返し練習しましょう。

  • 三角定規(小学3年生)
  • 面積計算(小学4~5年生)
  • 三平方の定理(中学3年生)
  • 三角関数(高校・数Ⅰ)

150°三角形とは?150°の内角をもつ三角形

150度の内角をもつ三角形

150°三角形とは、1つの角度が150°の三角形のことです。

ご存じのとおり三角形の面積の求め方は・・・

三角形面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

ですが、150°三角形の問題は例題のように高さの情報が無いのが特徴です。

150°三角形の解き方

長さが与えられているどちらかを底辺にします。

以下は「PA8センチ」を底辺にした状態です。(PB9㎝を底辺にしてもOK)

見やすいように底辺を下側に

三角定規を使う

下図のように、150°の角に三角定規の30°の角をあてます。

三角定規をあてる

150+30=180°ですから、図のAPQは一直線になります。

そして三角定規をあてた状態の「線BQ」が「高さ」です。

中学数学ではこの状態でBQを求める定義公式(三平方の定理)がありますが、小学算数では工夫で探します。

三角定規を反転する

三角定規を反転して正三角形をつくる

三角定規をおき、反転させた赤線であらわれる「三角形BPR」は、3つの角度がすべて60°です。

つまりこれは正三角形です。

正三角形

正三角形は、角度だけではなく一辺の長さもすべて等しい図形です。

設問図形の場合、線BPによって一辺の長さは9㎝であることがわかります。

であれば、下図のとおり「線BR」の長さも9㎝です。

正三角形の情報から高さを拾う

点Qは反転した折り目ですから、BQの長さは9㎝の半分=4.5㎝であることがわかります。(下図)

一辺の半分

不要な線を消すと下図のようになります。

150度三角形の高さはここ

探していた「高さ」がわかりましたので、「底辺 × 高さ ÷ 2」の面積公式が使えます。

底辺8 × 高さ4.5 ÷ 2 = 18

【余談】高校数学(数Ⅰ)の解き方

(PA×PB)×〔1/2〕×〔sin150°〕

72×〔1/2〕×〔1/2〕=18 (36sin150)

あとがき

150°三角形の問題は「三角定規をふたつ組み合わせると正三角形になる」「正三角形を半分に切ると三角定規になる」という前提知識の定着を試しているので、仕組みを理解せず公式的な暗記で解いていると補助線を使うという発想自体ができなくなってしまうかもしれません。

中学の三平方の定理を先取りしてる人は特に注意しましょう。

トップページへ移動