ABCDEの数字の積は〇〇のとき、5桁の整数は?

2021.09.013

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔E〕の5桁の整数があります。

ABCDEのすべての数をかけると1620になります。また、ABDEは奇数で、EはAの3倍です。この5桁の整数として考えられるもっとも大きい整数は?

数の性質を利用した数当てゲームです。

「考えるのがめんどくさそう、だから後回し。そして放棄」・・・という感じになりやすいヤル気スポイラーな問題です。

  • 偶数と奇数(小学5年生)
  • 約数と倍数(小学5年生)
  • 素因数分解(中学3→1年)

この類の問題を見たときのお約束

【数字の積は〇〇…】という問題は、だいたい素因数分解。

解き方のながれ

偶数奇数の性質と素因数分解をつかって推理(条件合わせ)をします。

  • 1620を素因数分解する
  • 分解したそれぞれの数字を条件に合わせて5桁の数に割り振る

条件の付けられ方によっては手数がかかりますが、きちんと書き出していけば難度そのものは低いです。

素因数分解する

1620 → 2×2×3×3×3×3×5

やりかたを知らなければ動画サイトを検索してみましょう・・・というか、このページを見る人は知ってますよね。

条件にしたがって5つに分ける

×2 ×2 ×3 ×3 ×3 ×3 ×5

5つに分ける・・・というと「?」になるかもですが、仮に「7つに分ける」なら・・・

1 2 3 4 5 6 7
2 2 3 3 3 3 5
2233335

上記が答えのひとつになります。

「5つに分ける」ということはつまり、7つの数字のいくつかは「そのまま」あてはめ、いくつかの数字は「かけ算でまとめて」あてはめるわけです。

偶数・奇数の性質を考える

ここまでの状態

A B C D E
         
×2 ×2 ×3 ×3 ×3 ×3 ×5

ABDEは奇数

つまり・・・

A B C D E
奇数 奇数   奇数 奇数

こういう状態にすればいいわけです。そこで7つの数について奇数になるものを考えると・・・

×2 ×2 ×3 ×3 ×3 ×3 ×5

この2つの〔×2〕は、直接でも他の数字と組み合わせても奇数にはなりません。

偶数と奇数の組みあわせ

奇数 × 奇数 奇数
偶数 × 奇数 偶数
偶数 × 偶数 偶数

つまり2つの〔×2〕は、ABDEには入れることはできません。

ABDEにあてはまる数字を探していましたが、先にCが確定します。

ここまでの状態

A B C D E
    ×2×2    
×2 ×2 ×3 ×3 ×3 ×3 ×5

倍数を考える

ここまでの状態で、残っている桁が4つで、使っていない数字は5つです。

となれば、残り4桁のうち、3桁は残っている数字をそのまま、1桁は「2つの数字をかけ算」して使うことがわかります。

そこで他の条件について考えてみます。

EはAの3倍

残っている数字は〔×3〕か〔×5〕ですが、次の理由で「ひとつの数字だけで何かの3倍」はつくれません。

  • Eが3だとしたら、Aは「1」になる。しかし残っている数字に「×1」は無い
  • Eが5だとしたら、Aは「1.66...」になる。もちろん無い

よって〔E〕は「2つの数字をかけ算」する桁であることがわかります。

考えられる組み合わせは〔3×3〕と〔3×5〕なので、それぞれ検証します。

E=3×5 の場合

A B C D E
×3 ×3 ×2×2 ×3 ×3×5
3 3 4 3 15

〔×5〕をEで使った場合、Aの3倍ではなく5倍になってしまいます。また「334315」は6桁なので問題の条件から外れてしまいます。

E=3×3 の場合

A B C D E
×3 3か5 ×2×2 3か5 ×3×3
3 4 9

こちらが正解のようです。

ここまでの状態

A B C D E
×3 3か5 ×2×2 3か5 ×3×3
3 4 9
×2 ×2 ×3 ×3 ×3 ×3 ×5

問われていることを答える

BかDは、それぞれ3か5が入ります。

A B C D E
3 3 4 5 9
33459
A B C D E
3 5 4 3 9
35439

〔33439〕か〔35439〕のいずれかですが、「もっとも大きい整数」を答える問題なので・・・

【答え】35439

シンプルな解説

  • 1620を素因数分解する → 2×2×3×3×3×3×5
  • ↑この7つの数字を5桁の数に割り振る。
  • 偶数・奇数の条件について、「2」をかける組み合わせは偶数になってしまう。「ABDEの積は奇数」という条件があるので、「2」をあてはめられるのは「C」だけ。よって「C=2×2=4」
  • ABDEは残っている「3×3×3×3×5」の数字を使う。
  • 「EはAの3倍」について、3もしくは5の3倍となる数字は無いので、Eは「?×3」か「?×5」の数になる。条件を満たせるのは「E=3×3=9」
  • Eが確定するので「A=3」も確定。
  • 残っているのは「3」と「5」。これをBとDに割り当てると、5桁の数字は〔33439〕か〔35439〕になる。
  • 設問は「大きいほう」を答えるので、〔35439〕が答え。

余談:例題で用いている「1620」の出典

数字のみ異なる類問は多数ありますが、この例題で用いている「1620」は智辯学園和歌山中学校の過去問が出典です。

令和3年の甲子園優勝校であり、同一学校法人の決勝戦で話題になりました。

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