角度情報がない図形の合計の角度図形の中に含まれる三角形の数

星型多角形の内角の和
2020.07.07
2019.10.01

星形多角形(芒星図形)の応用問題です。

数字的情報が一切ないのにどうやって解くのかが難しそうですが、これはそういう問題ではありません。

  • 対頂角と錯角(小学4年)
  • 多角形の角度(小学5年)

この問題のルールネタバレ

角度につながる情報が一切なければ個々の角度は出せません。

それでいて「合計」を問う問題は、答えが「n角形の内角の和=180度の倍数」になるようにつくられています。なぜなら・・・

  • 直線のみで構成される平面図形は三角形(180度)の集合体でできている。つまり「図形の中にいくつの三角形があるか?」は問題にできる。(これが出題の狙い)
  • 個々の角度を得る情報が一切与えられなければ、数字で答えられることは内角の和しかない

つまり、答えを180の倍数にしないと問題として成立しないわけです。

チートな解き方

  • 問われている角度を目分量で三角定規の角度にする
  • 出した数字を全部足す(合計を出す)
  • ↑多角形内角の和である180°、360°、540°、720°…に最も近いものが答え

誤差±90度まで許容範囲ですから乱暴に採寸してもまず外さないです。

いちおう念のため書いておきますが、こんなやりかたは算数でも数学でもありません。

テキスト学習はあんまりお勧めしない

ありていにいえば、算数マニアのゲームです。

面白いと思うならぞんぶんに遊べばいいと思いますが、だったらネットで解き方を調べるのはゲームの興を削ぐだけだと思います。

算数遊びに興味がなければ「だから何?」で終わりですし、アクティブラーニングでなければ雑学に終始してしまうので、一人で向き合う勉強にはあんまり向かないと思います。

ですから先にチートなやり方を書きましたので、宿題を片づけたいだけならここで終わって大丈夫です。

解答例補助線をひいて対頂角で動かす

まずはこんな感じで補助線をひいてみると、六角形ができます。

補助線をひいて六角形をつくる

図形は一辺の長さや角度を変更しても「合計の角度」は変わりません。

三角定規はどんな種類でも大きさでも角度の合計は180°です。正方形でも台形でもひし形でも四角形の内角の和は360°です。

皆さんが角度の問題を解くときにもこの性質を使っています。

この性質を利用して、上記の補助線でつくった六角形を「正六角形」のカタチに変えてみます。

正六角形のカタチに変形した状態

変形前と変更後の黒点の角度の合計は変わりません。

対頂角と残りの2角の合計

元の図形で、補助線をひいてできたふたつの三角形に着目します。(図中、赤線)

対頂角があるふたつの三角形に着目

この状態だと次に何をすればいいかわかりにくいかもしれないので、次のように大胆で思い切った変形をしてみます。

しつこいですが、赤線で囲った部分の角度の合計は変わっていません。

相似の正三角形に変形

上図は、補助線でつくった三角形を正六角形を構成する「正三角形」に変形し、元からある小さな三角形を「相似の三角形」に変形しています。

先ほどつくった変形図にかぶせるとこんな感じになります。

変形イメージ図

相似の関係ですから小さな三角形の黒点(図中は赤点)は★点の角度と同じです。

図例の変形は「正三角形」にしたので、(正三角形の定義によって)赤線で囲っている三角形の内角は全て60°ということがわかります。

相似なので角度はコピーできる

つまり、内側の三角形にある黒点2つは補助線でできた三角形に「移動」できます。もちろんそれは他の小さな三角形でも同じことがいえます。

であれば・・・

解き方

一見すると乱暴ですが、変形しても角度の合計は変わらないとはこういうことです。

移動したら元の図形の線を薄くしてみましょう。

六角形の内角の和

点は六角形の内角を構成する全ての箇所を埋めていることがわかります。

点がそれぞれ何度かはわかりませんが、キッチリ埋っているなら角度の合計は六角形の内角の和に等しいはずです。

答え:六角形なので720度

別解

変形イメージ図

「他の三角形でも同じことがいえます」ではなく、同じことをやってしまうとこうなります。

正六角形の内角の和

小さい三角形は5つしかないのでポッカリ空いた場所ができますが、余ってる60°がふたつありますね。

おまけ:チート技の検証

三角定規の角度をあてはめた図
  • 60°×5個=300°
  • 45°×4個=180°
  • 30°×7個=210°
  • 300+180+210=690
  • 最も近い180の倍数=720(当たり)

時間の無駄ですねぇ・・・

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