正方形と正三角形が組み合わさった図形の面積計算30度150度の二等辺三角形をやっつける

2020.06.09
三角形と四角形の面積

正方形と正三角形が合体していて対角線(らしき)ラインが入っている問題は主に角度計算で出題されますが、この問題は「面積」なので難問の部類です。

SPI(就職適性検査)の練習問題にも出てきますので、大人の方も受験算数を体験しながら解いてみましょう。

  • 三角定規(小学4年)
  • 角度の計算(小学4年)
  • 三角形と四角形の面積計算(小学4/5年)

前提知識30°と150°の二等辺三角形の面積計算

150度の二等辺三角形を見つける

面積計算において必須の「長さ」の情報はここにしかないので、この三角形が問題を解くカギになりそうです。

この問題は三角定規を補助線にした角度計算が前提知識になるので、先にそれを解説します。

やり方を知っている方はスキップ

150度三角形は三角定規で正三角形をつくって解く

150度三角形の面積計算のやり方

30度二等辺三角形には隠しコマンドがある斜辺 × 斜辺 ÷4

もう少し前提知識を入れましょう。

三角定規補助線を使う

(お題とは寸法が違いますが)30度二等辺三角形のスタンダードな解き方は、斜辺の一方から垂直になる補助線をひいて〔30-60-90度〕の三角定規をつくります。

三角定規の斜辺の長さがわかれば150°三角形と同じやり方で求められますが、30°二等辺三角形はこの方法で高さを探すと次のようなことに気づきます。

  • 底辺=斜辺A
  • 高さ=斜辺Bの半分

つまり「底辺 × 高さ ÷2」は、〔斜辺〕×〔斜辺÷2〕÷〔2〕をやっているわけです。

カッコをとりはらうと・・・

斜辺 × 斜辺 ÷2 ÷2

そして「÷2÷2」は「÷4」にまとめることができるので・・・

斜辺 × 斜辺 ÷ 4 = 面積

という隠しコマンドが使えます。

単なる言い換えですが、知っていると後で少し得します。

では、お待ちかねの本題へ。

30度二等辺三角形をつくれ!

〔15-15-150度〕の三角形の見かけ上の底辺となる線ABは、正方形の一角から三角形の最も遠い頂点に向かっています。

そこで、同じ条件で補助線をひいてみたのが次の図。

補助線追加

「AB=16センチ」という条件が与えられていますので、ABCを結んだ三角形は2つの斜辺がそれぞれ16センチの二等辺三角形であることがわかります。

補助線によってつくりだした30度二等辺三角形

点Bの角度は、正三角形の1角60°から150°三角形の15°ふたつ分を引くと30°であることがわかります。

補助線で30°二等辺三角形をもうひとつつくる

ここに補助線をひく

図形の外にも補助線をひく

補助線でできたスキマに図の150度二等辺三角形を移動する

150度二等辺三角形を移動

すると、こうなります。

30度二等辺三角形が2つできる

30度二等辺三角形がふたつできましたね。

斜辺に数字が入っているので計算は簡単。

  • 青:斜辺16×(斜辺の半分8)÷2
  • 緑:斜辺16×(斜辺の半分8)÷2

青64 + 緑64 = 128

ちなみに隠しコマンドを使うと・・・

(16×16÷4)×2 → 16×16÷2 いろいろにこむ(16×16=256)の半分で128

別解ひし形の公式で解く

(仕上げをわかりやすくするために)三角形の位置を変えます。

三角形の位置を変える

面積系ではこっちのほうがよく見かける並べ方ですね。

次に、線ABが対角線になる正方形を補助線として書きます。

正方形の補助線

書いたらそれを元の図の中心に移動。

直線ABを三角形の傾きに沿って二等分線まで並行移動です。

手裏剣

はみ出した部分が補助線正方形の中に納まります。

縦横の長さはわかりませんが、対角線の長さがわかっているのでひし形の公式で解けます。

対角線×対角線÷2=面積

16×16÷2=128(㎝2)

こういう問題や解き方は手裏剣や風車と呼ばれたりもするようです。

あとがき

最後の手裏剣ですが・・・

  • 直感的でない補助線の使い方は小学生には難しい
  • 解説の途中で「あ、わかったかも?あとは自力でやってみる」の入る余地がない
  • 「このように手裏剣で解けるのです。では類問やってみましょ」という流れだと「できた気」になりやすい

授業や教材ではなくクイズ番組向けのような気がします。

トップページへ移動