2019年大問8:空き瓶交換

2021.11.14

1本100円のビン詰めのヨーグルトが売られています。

この商品は、空きビン5本でヨーグルト1本と交換できます。

【原文のまま引用】

空き瓶交換は数列の代表的な問題です。

一般的な受験算数解説では「碁石並べ」の解き方が用いられますが、そのやり方ではわからない方のために地道に解く手順を紹介します。(碁石並べのやり方はさいごにあります)

  • 余りのあるわり算(小学4年)
  • 碁石並べ
  • 難度目安 【 標準 】

小問1

Bさんは500円もっています。ヨーグルトを何本飲むことができるでしょうか。

これは考えるまでもありません。

100
100
100
100
100
空き
空き
空き
空き
空き
空き瓶でもう1本

答え:6本

小問2

C君は3000円持っています。毎日1本ずつ飲むことにすると、何日間飲むことができますか。

日本語が少しややこしいですが・・・

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100
100

小問1のイメージで考えてみる

100
100
100
100
100
貰える
100
100
100
100
100
貰える

500円ごとに1本もらえるので、「500円で6本飲める」と考えてみます。

500円で6本なら、3000円で36本です。

よって36本 ではありません。

貰った本数もさらに交換できます

  買った本数 貰った本数 のんだ合計
500円 5 1 6
500円 5 1 6
500円 5 1 6
500円 5 1 6
500円 5 1 6
500円 5 1 6
1 1
合計 3000円 7 37

6本もらっているので、その中の5本でもう1本もらえます。

買った本数=3000円÷100円=30本

もらった本数A=30本÷5=6本

もらった本数B=6本÷5=1本(あまり切り捨て)

のんだ本数の合計=30+6+1=37本

この考え方で解くときの要所は、交換した分でさらに交換できることを忘れないことです。

【別解】 碁石並べの考え方で解く

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貰った分の空き瓶も交換できるやりとりは、次のように書き表すこともできます。

1回目 1 2 3 4 5                
2回目         1 2 3 4 5        
2回目                 1 2 3 4 5

最初の1周目は「500円で5本買うと1本もらえる」ですが、2周目からはもらったものも交換できるので「400円で1本もらえる」になります。

2周目以降をもとに表を組み直すと次のようになります。

0回目 1                      
1回目 1 2 3 4                
2回目         1 2 3 4        
3回目                 1 2 3 4

隙間をつめると次のようになります。

0回目 1      
1回目 1 2 3 4
2回目 1 2 3 4
3回目 1 2 3 4

つまり・・・

  • 「n回目」のnが、貰った本数
  • 「n×4+1」が、飲んだ合計数

この解き方は「1回貰ってから」をスタートにして考えるので、前述の表のとおり総数から最初の1本をはずします。

【買う合計数】3000円 ÷ 1本100=30本

【1個を外す】30-1 = 29本

以降は「4本」ごとにもらえるので・・・

29本 ÷ 4本=7本(余り切り捨て)

貰った個数は「7本」であることがわかります。

この計算は前述表の「n」を求めています。

〔購入30個〕+〔 貰った7個〕

30+7=37

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