比で体積を求める静岡雙葉中学過去問解説

  • 2021.10.22

1辺が6㎝の正方形が底面である四角柱Aに8㎝の深さまで水が入っています。また、直角をはさむ2辺の長さがどちらも6㎝である直角二等辺三角形を底面とする底面とする三角柱Bに11㎝の深さまで水が入っています。

2020年大問2

難度低めの体積計算です。

なお、(同年の)入試問題全体でみた場合、全問完答を目指すなら5分程度で完答する必要があります。

やや難しい

  • 計算のくふう(小学4年)
  • 平均(小学5年)
  • 体積(小学6年)
  • 比の利用(小学6年)

小問1

Aの中の水とBの中の水を合わせると何㎝3になりますか。

ABそれぞれの体積を計算して足すだけです。

この問題は図が用意されているので簡単です。

  底面積 高さ 体積
四角柱A 6×6 36 8 288
三角柱B 6×6÷2 18 11 198

A288+B198=486

486㎝3

〇角柱は「底面積×高さ」で考えます

学校や塾によっては立体の「縦×横×高さ」しか教えないこともありますが、角柱の体積は「面積に高さがあるもの」と考えるほうが理解が早いし応用も効きます。

以下の小問はこの考え方ができるかできないかで体感難度が大きく変わります。

小問2

AとBの体積が同じになるようにAからBに水を移します。Bの水の深さは何㎝になりますか。

同じ体積ということは、合計の平均です。

まず、平均の体積を計算します。合計は小問1の答えを使います。

486÷2=243

それぞれの体積を243㎝3にすればよいです。

底面積は変わらないので、「底面積×高さ=体積」の式にわかっている数字をあてはめます。

  底面積 高さ 体積
四角柱A 36 243
三角柱B 18 243

答えるのは「Bの高さ」なので・・・

18×高さ=243

高さ=243÷18

高さ=13.5㎝

まとめ
  底面積 高さ 体積
四角柱A 36 6.75 243
三角柱B 18 13.5 243

AとBの底面積は〔2:1〕の比率になっていますので、体積が同じなら高さは逆比の関係になります。

全問完答を目指すならこの考え方は必須です。

小問3(計算の工夫)

AとBの水の深さが同じになるようにBからAに水を移します。水の深さは何㎝になりますか。

ABの移動で変わることと変わらないことがあります。

  底面積 高さ 体積
四角柱A 36
三角柱B 18

小問1でABに入っている水の合計を計算していますので、それを表に入れてみます。

  底面積 高さ 体積
四角柱A 36 486
三角柱B 18

まずここまでが下準備です。

A+Bの式にしてみる

〔Aの体積〕+〔Bの体積〕=486

ABの体積はこのようにあらわすことができます。

もう少し細かく書くと・・・

〔36×高さ〕+〔18×高さ〕=486

高さを〇として式を書き直すと・・・

〔36×〇〕+〔18×〇〕=486

4年生で習う「計算のくふう」で少し数式を変えてみると・・・

〔36×〇〕+〔18×〇〕=486

〇×(36+18)=486

〇×54=486

〇=486÷54

高さ=9㎝

  底面積 高さ 体積
四角柱A 36 9 324 486
三角柱B 18 9 162

別解:比で考える

高さが同じであれば、体積は底面積と同じ比になります。

高さを「1」として確認してみます。

  • 底面積36 × 高さ1 = 36㎝3
  • 底面積18 × 高さ1 = 18㎝3

〔A:B〕=〔2:1〕です。ABの体積の合計は486なので、これを〔A2:B1〕で分けます。

486→〔2:1〕

A=486 ×〔2/3〕=324

B=486 ×〔1/3〕=162

高さを同じにしたときのABそれぞれの体積がわかりましたので、計算しやすそうなほうで実際の高さを求めればよいです。

A:36×〇=324 〇=9

B:18×〇=162 〇=9

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