規則性・約数倍数・等差数列静岡雙葉中学過去問解説

  • 2021.07.08

72個のボールに1から順に72までの数字を書きます。また、1から順に番号が書いてある袋と、かごがたくさんあります。まず最初に、1,2,3が書いてあるボールを1番の袋に入れ、4,5,6が書いてあるボールを1番のかごに入れます。次に、7,8,9のボールを2番の袋に入れ、10,11,12のボールを2番のかごに入れます。このように3つずつボールを袋とかごに入れていきます。この作業をボールがなくなるまで、繰り返していきます。

2019年大問6

規則性の問題は「並べ方・組み合わせ」と同じく中学受験の難所です。頭ではなく「目」で考えることが大事です。

高難度

比較的多い

  • 規則(4年生)
  • 等差数列の公式

大問概要

問題文が長すぎます・・・

解き方を考えるときに読み返していたらウンザリして当然ですが、読むのがめんどくさくて問題にきちんと取り組まない…という失点理由はとても多いです。

よってこの類の問題は、まず要点を抜き出すことが大事です。

72個のボールに1から順に72までの数字を書きます。また、1から順に番号が書いてある袋と、かごがたくさんあります。まず最初に、1,2,3が書いてあるボールを1番の『袋』に入れ、4,5,6が書いてあるボールを1番の『かご』に入れます。次に、7,8,9のボールを2番の袋に入れ、10,11,12のボールを2番のかごに入れます。このように3つずつボールを『袋』と『かご』に入れていきます。この作業をボールがなくなるまで、繰り返していきます。

これを整理すると次のようになります。

1から72の数字をA(袋)とB(かご)にわける

AとBを交互に3つずつ入れる

わかること

  • 6の倍数で1セット
  • セットの前半が袋(A)、後半がかご(B)
  • 〔n × 6〕で、「かご」に入っているボールの最後の番号がわかる
↓番目(n) A(袋) B(かご)
1番目 1 2 3 4 5 6
2番目 7 8 9 10 11 12
3番目           3×6
n番目           n×6

小問1

4番目のかごに入っている3つのボールの数字を書きなさい

下準備によって、n×6で「かご」の最後の数字がわかります。

「n=4番目」なので、かごに入っている最後の数字は、〔4×6=24〕です。

↓行番(n) A(袋) B(かご)
1番目 1 2 3 4 5 6
2番目 7 8 9 10 11 12
3番目            
4番目 19 20 21 22 23 24

22、23、24

この問題が解けないなら勉強の取り組み方の見直しを

1番めから12番めまでについては問題文の中で振り分け方のサンプルが直接書かれているのですから、問題文のとおりに①②・・・⑫まで数字をならべていき、その作業をもう1回繰り返すだけで答えにたどり着きます。

すなわちこれが解けない人は「問題にきちんと取り組んでいない」です。

小問2

袋とかごは、何番まで必要でしたか。

小問1と同じです。

n × 6 = 72

・・・ということですから・・・

72 ÷ 6 = 12

小問3

同じ番号の袋とかごに入っている3つのボールの数字の合計は、袋とかごのどちらがいくつ多いですか。

↓行番(n) A(袋) B(かご)
1番目 1 2 3 4 5 6
2番目 7 8 9 10 11 12
3番目           18
4番目 19 20 21 22 23 24
5番目           30
6番目           36
7番目           42
8番目           48
9番目           54
10番目           60
11番目           66
12番目           70
合計    

上記のマスを埋めて計算すれば答えは出せますが・・・とてつもなく面倒です。

面倒ですが、その方法でも答えは出せます。他にとれる問題がなければ地道に計算をすれば確実にマルがもらえる・・・という考え方も状況によっては有効です。

面倒なことを簡単に処理するのが数学です。

「差」の規則に着目する

↓番目(n) ABの差
1番目 1 2 3 4 5 6  
合計 6 15 9
2番目 7 8 9 10 11 12  
合計 24 33 9

1番目と2番目の数字で確認してみると、各番号のABの差は必ず「9」になっていることがわかります。

つまり、nひとつあたりABの差は9ずつ増えていきます。

問われているのは「最後:n=12」なので・・・

9 × 12 = 108

「かご」の方が「108」多い

小問4(等差数列の和)

1から72まで、すべての数字を加えると2628になります。このことを使って、袋に入っているすべてのボールの数字を加えたとき、いくつになるか。

等差数列の和です。

受験算数では約数倍数の発展としてスタンダードですが、本来は高校数学(数2B)なので使いこなすのは難しいかもしれません。

公式知識はあっても使いこなせなければ迷いますし、力技で計算すると物量が多いので試験時間を大きく圧迫します。むりそうなら「捨てる選択」も受験のテクニックです。

等差数列の和

等差数列の和の公式

(最初+最後)×個数÷2

(1+72)×72 ÷2=2628

「2628」はこのように求めることができるわけですが、これと同じしくみでA(袋)の合計を求められそうです。

「全て加えると2628」という言葉で等差数列の公式を使うことを示唆しています。

↓番目(n)
1番目 1 2 3 4 5 6
合計 6 15
12番目 67 68 69 70 71 72
合計 204 213

最初と最後の数字がわかったので、等差数列の公式にあてはめられます。

(6+204)×12÷2=1260

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