2019年大問4:組み合わせ・塗り分け・樹形図静岡雙葉中学過去問解説

2021.10.13
2021.06.08

ある洋菓子店では、AからEの5種類の値段は下の表にようになっています。

A ドーナツ 120円
B エクレア 140円
C シュークリーム 170円
D アップルパイ 200円
E チョコケーキ 230円

AからEの中から種類の違う3つのお菓子を選びます。ただしエクレアとシュークリームは一緒に選ばないことにします。

【表のレイアウトのみ改変】

規則性と同じく中学受験の難所です。

唯一のコツは、受験算数の計算方法を知識で覚えようとせず、状態をていねいに書き出すことです。

  • 組み合わせ(6年生)
  • 難度目安 【 標準 】

大問概要

この問題は親切に各項目にABC~の記号が付けてありますが、そういうものが無い場合は自分で連番をふってから解き始めましょう。

ABCDEの中から3つ選ぶ

ただし、BCは一緒にしない

小問1-1

組み合わせは何通りありますか。

計算と樹形図でどちらが早いか悩みますが、この問題のように「一部のみ除外」の条件があるときは樹形図のほうがわかりやすいと思います。

ページ編集の都合で「表」の様式にしています。

ABC ABD ABE
  ACD ACE
    ADE
  BCD BCE
    BDE
    CDE

ぜんぶで10通りですが、除外条件があります。

BとCは一緒にできないので、BCの両方を含む組み合わせを消します。

ABC ABD ABE
  ACD ACE
    ADE
  BCD BCE
    BDE
    CDE

3つが除外対象なので・・・

10 - 3 = 7

樹形図は、書き方は難しくないですが、練習しないとうまく書けません。書いたり消したりを繰り返すと時間を大量消費してしまうので、スラスラ書けるように簡単な問題で繰り返し練習しておくといいです。

小問1-2

3つのお菓子を合計した金額が、一番高い組み合わせから一番安い組み合わせを引くといくらになりますか。

先ほどの樹形図に金額を書き込んでみましょう。

ABC
430
ABD
460
ABE
490
  ACD
490
ACE
520
    ADE
550
  BCD
510
BCE
540
    BDE
570
    CDE
600
  • 最も高い=CDE600円
  • 最も安い=ABC430円 →ABD460円 ※ABCは除外対象

CDE600円 - ABD460円 = 140円

ABCは除外対象であることが罠ですね。

小問2

さらに、Fとして240円のイチゴケーキを加えました。AからFのお菓子の中から種類の違う4つのお菓子を選んだところ、値段の合計が760円になりました。どの4つの種類のお菓子を選びましたか。AからFの中から選びなさい。

難しいというより面倒なだけです。

この問題は、「この問題の知識」ではなく、テクニックとしての「大問の解き方」です。

Fが選ばれているとして考える

「4つの組み合わせ」にFが含まれているとすれば、ABCDEで選んだものの合計金額は・・・

合計760円 - F240 = 520円

つまり小問1-2でつくった金額入り樹形図の中から「520円」の組み合わせを探せばよいです。

ABC
430
ABD
460
ABE
490
  ACD
490
ACE
520
    ADE
550
  BCD
510
BCE
540
    BDE
570
    CDE
600

ACEが520円なので・・・

A、C、E、F

Fが選ばれていない可能性を考える

解答欄の様式からおそらく4種類の組み合わせは1通りの可能性が高いですが、確認は必要です。

Fを除いたABCDEの5種類の中から4つを選ぶ組み合わせをチェックします。

5種類から4つを選ぶ=1つを除外すると考えるとやりやすいです。

A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E

5通りありますが、ルールから「BC」を含んでいる組み合わせは除外します。

A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E

除外すると確認対象は次の2つです。

A B C D E
A B C D E

ADEが共通していますので、先ほどの表から価格を拾い、「ADE+B」と「ADE+C」が760円になるか確認します。

合計760円 ー ADE550円 = 210円なので、BかCが210円ならその組み合わせも答えになります。

A ドーナツ 120円
B エクレア 140円
C シュークリーム 170円
D アップルパイ 200円
E チョコケーキ 230円

・・・違うようですね。よって答えはFを含む1種類のみでした。

余談

文字で説明すると長いですが、最初の準備と前の小問で出した答えを拾い出しているだけなので、ていねいに図表に書き出していれば計算することはほとんど無いので時間はかからないと思います。

大問全般にいえることですが、特に「組み合わせ」や「並べ方」の問題は、問題を解き始める前に「作戦」を立て、途中の情報を消さないことが大事です。

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