算数と数学

多角形の内角公式を用いた複雑な図形の角度の計算高校生でも解けない小学算数

2019.10.01

私立中高一貫校の入試問題です。(大宮開成中学

数字的情報が一切ないのにどうやって解くのかが難しそうですが、これはそういう問題ではありません。

小学校4年~5年で習う公式と定義を使いますが、この問題はその過程でどんな勉強をしたかを測る問題だと思います。

  • 多角形の内角の和の公式【180×(n-2)】
  • 対頂角は等しい(定義)

内角公式をおさらい

図形を書き出して分度器で角度を測った結果を表にまとめると次のようになります。

  n-2 ̘内角の合計 平均の角度
三角形 1 180 60
四角形 2 360 90
五角形 3 540 108
六角形 4 720 120
十二角形 10 1800 150

表にまとめてみると内角の合計値には規則性があり、このことから「180×(n-2)」という公式が成り立つことがわかります。

まぁこれだけでも定期テストはとれますが、公式を忘れたらそこまでですね。

図形の基本は三角形

「n-2」の「n」は多角形の角数ですが、カッコ内の数式は、ある1つを頂点として他の頂点(角)に線を引いたとき、その図形の中にいくつの三角形が入っているかを意味しています。

多角形に含まれる三角形の数

四角形なら対角線に1本線が引けますので、引いた状態を見ると三角形が2つあることがわかります。同様に六角形は3本線を引くと見つかる三角形は4つ、「三角形」は引ける場所がありませんので含まれる三角形は1つです。

「180×」は三角形の内角の和のことですから、つまり内角公式は図形に含まれる三角形(180度)がいくつあるか?という意味です。

そこに理解が届けば公式を暗記しなくても同じ思考ができるようになります。

内角の合計

合計の角度

黒点の角度の合計は?

特定の点の角度を求めるのではなく、合計の角度を求める問題であることに着目です。

まず、外側に位置する頂点ごとに補助線を引いてみましょう。

例題は該当箇所の黒点が大きくなってますから、どこからどこに引けばいいのかすぐわかりますね。(大サービスです)

すると六角形が出てきました。

補助線でつないだ状態

次に、補助線を引いたことで出来た三角形に着目します。

その三角形から見てみると、黒点は対頂角以外の2ヶ所に打ってあることがわかります。

それぞれの黒点の角度は不明ですが、「対頂角+黒点1+黒点2=180度」であることは間違いないです。

そしてそれは、補助線でできた三角形にも同じことがいえます。

そこがこの問題の要所です。

黒点の角度は不明だが、対頂角以外の2つの角度の合計は両方とも同じ

そこで、元からある三角形の黒点を補助線を引いて出来た三角形に移動してみましょう。

過不足なく空き枠に移動できますよね。

この作業は図形全体として角度を構成する要素(黒点)が漏れなく余りなく埋まるかの「検証」ですから、対頂角を挟んだふたつの三角形が同じ(相似)であるかは関係ありません。

対頂角が等しくても相似とは限らない

過不足なく埋まればその図形をもとに全体の角度を導き出すことができます。

六角形ですから180×(6-2)=720

つまり、黒点全部の角度は720度です。

この例題を解くために必要な勉強

この問題がスラスラっと解ける人は、だいたい次の2種類です。

大量の問題の解法に触れた人

大量の問題の解法に触れ、その蓄積から解き方を見つけ出すという学習をした人なら似たような問題に触れたことがあるかもしれません、

ただ、出典元は比較的難度が高い中高一貫校ですし中学2年学調レベルより若干難しそうですから、中低学力帯を対象とした学習塾や家庭教師では扱わないと思います。

なので「難しい」となるんでしょうね。

手を動かす勉強を繰り返した人

図形を使った勉強を繰り返すと「図形」として成立しているなら個々の角度はバラバラでも合計は同じということが直感でわかるようになります。

六角形に含まれる三角形1 六角形に含まれる三角形2

手を動かす勉強を繰り返している人は補助線を使うことに慣れますし、さらに繰り返すと頭の中でそれが描けるようになります。

たとえばこのページの画像をつくる人は図形を描画するために線を引いたり見やすくするためにレイアウトを工夫しますが、その作業が思考を伴う反復になります。

なのでグラフィックデザインや図面を書く仕事をしている人ならアッサリ解いてしまうかもしれませんね。